Relazioni di ricorrenza per la covarianza

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La covarianza è una misura di come i cambiamenti in una variabile sono associati ai cambiamenti in una seconda variabile. In particolare, la covarianza misura il grado in cui due variabili sono linearmente associate. correlate. Ci troviamo quindi in un contesto bivariato in quanto ci sono due variabili x e y  e la formula generale della covarianza è la seguente:
Se in questa formula x e y fossero la stessa variabile allora ci si ricondurrebbe alla formula della varianza, quindi la formula della covarianza può essere vista come una generalizzazione della varianza.
indicando con SPn la somma dei prodotti abbiamo:

si considerano due variabili X e Y a cui sono sottratte delle quantità costanti c e d, e attraverso i seguenti passaggi algebrici in cui si aggiungono e si sottraggono le medie delle due variabili, si ottiene:

pongo le costanti c e d pari alle medie delle due variabili al passo n-1 così che  la somma dei prodotti che si ottiene nel calcolo della covarianza si può riscrivere nel modo seguente:
alla fine, si può ottenere la somma dei prodotti nei due seguenti modi:

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