Francesca Tomassini

Le  Bande di Bollinger  molto utilizzate nell ambito finanziario, vogliono essere d’aiuto per misurare e sfruttare, nell’operatività quotidiana, un aspetto che molto influisce sull’andamento delle mercati: la volatilità. Questa può essere vista come la deviazione standard del valore di un titolo, ovvero come la fluttuazione media in un dato intervallo temporale. Quando si effettuano transazioni, è importante valutare anche questa componente, per poter avere una visione più chiara sugli eventuali rischi legati ad un certo titolo. Le  bande di Bollinger  sono state teorizzate proprio per riuscire a studiare in maniera più accurata questa componente per sua natura imprevedibile. Esse vengono calcolate innanzitutto attraverso una media mobile a G giorni (spesso 20). Le bande estreme (ovvero gli estremi degli intervalli) sono ottenute aggiungendo o sottraendo il valore della deviazione standard moltiplicata per un determinato fattore F (spesso 2). In dettaglio, la banda s...

La Moving Average, in Italiano Media Mobile, è uno dei metodi statistici più  semplici  è uno strumento utilizzato per l’analisi di serie storiche. In particolare, le medie mobili vengono ampiamente utilizzate nell’analisi tecnica. Viene definito come una media pesata di più termini, centrata solitamente sul valore di riferimento. In generale, una media mobile risulta essere molto utile quando si cerca di analizzare il  trend  di una serie storica, poiché essa riesce a ridurre fortemente le fluttuazioni casuali che si possono verificare. Se infatti si fa un confronto tra una serie storica e la stessa dopo l’applicazione di una media mobile, è possibile vedere come la seconda risulti essere molto più regolare e con valori più stabili, dando una più chiara visione delle componenti a lungo termine e non casuali che compongono un processo. In formule, data una serie storica  contenenti i valori osservati di una variabile  Y  dal tempo 1 al tempo...

Il processo aleatorio GBM, cioè Geometric Brownian Motion,è migliore al processo stocastico ABM, cioè Arithmetic Brownian Motion, per quanto riguarda i modelli per l’andamento di prezzi. Ma anche il GBM  può essere considerato inadeguato, in quanto questa tipologia di processo aleatorio, c'è una semplificazione troppo forte ovvero ,la media e la varianza restano costanti per tutto l’intervallo di tempo considerato.  Per molti strumenti finanziari, soprattutto per quelli relativi alle  commodities  (materie prime), nasce l’esigenza di considerare il fatto che esse presentano un fenomeno di fluttuazione intorno ai prezzi di equilibrio,  i due processi GBM e ABM non sono in grado di descrivere questa particolare situazione.  Per questo motivo nasce la necessità di considerare un nuovo fattore, cioè il concetto di  Mean   Reversion . il modello più semplice è il cosiddetto  modello di Ornstein-Uhlenbeck  che può essere considerato come una v...

Il  processo di Poisson  viene utilizzato per modellizzare situazioni in cui ci sono dei salti aleatori in corrispondenza di alcuni tempi. Si tratta di un processo  continuous time  ma lo spazio degli stati è discreto. Il processo di Poisson segue le seguenti proprietà: , ovvero nella sua origine il processo vale 0 , ovvero in ogni intervallo di tempo si può verificare un salto con una probabilità pari a  . Ovviamente, più è largo l’intervallo e maggiore è la probabilità che avvenga un salto. In questo contesto,   è un parametro arbitrario positivo che esprime il tasso di arrivo. Tutto questo ragionamento può essere ricondotto ad un’estrazione di una bernoulliana che assumerà il valore 1 con probabilità pari a  , mentre assumerà il valore 0 con probabilità pari a  . , ovvero la probabilità di avere un numero di salti maggiore di 1 in ogni intervallo tende a 0 quando l’ampiezza dell’intervallo tende a 0, per cui può essere trascurato. I s...

Per capire cosa si intende per moto browniano geometrico mettiamolo a confronto con quello  aritmetico. L’ Arithmetic Brownian Motion  (ABM) procede per incrementi additivi e pur partendo da un prezzo iniziale relativamente alto, con un tempo sufficientemente ampio (poichè la varianza è proporzionale al tempo che trascorre), si potrebbero ottenere anche valori negativi. Pertanto, il modello ABM non è adeguato ad uno scenario finanziario poichè potrebbe generare prezzi negativi che non sono realistici. Un ulteriore problema si ha quando si rapportano prezzi di beni o di stock non si ragiona in termini additivi, ma si ragiona in termini di tasso di incremento ,di quanto varia in termini percentuali il prezzo di un certo bene. L’incremento assoluto di un bene dipende anche dal prezzo iniziale ed è per questo motivo che, dal punto di vista finanziario, l’aspetto importante è l’incremento relativo, ovvero: Questa espressione è detta  tasso di incremento  o  return . ...

Mentre le  random walks  (o passeggiate aleatorie) vengono categorizzate nei processi aleatori discreti, le  brownian motion , invece, sono classificati nei processi continui a valori reali. Più nello specifico, una brownian motion {B(t): t≥0} (con n punto di partenza) si definisce tale se vengono soddisfatte le seguenti proprietà: B(0) = n. Il processo ha incrementi indipendenti, ovvero per ogni  t 1  ≤ t 2  ≤ … ≤ t n  gli incrementi  B(t n ) – B(t n-1 ), B(t n ) – B(t n-2 ), … , B(t 2 ) – B(t 1 ) sono variabili aleatorie indipendenti. Per ogni valore  t ≥ 0  e  h > 0 , gli incrementi  B(t+h) – B(t)  sono distribuiti secondo una normale di media zero e varianza  h . Questa particolare categoria di processi è molto importante nello studio dei mercati finanziari. IL tipo di approccio basato sulla statistica è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza, partendo dall’ipotesi i...

Il  Teorema del Limite Centrale  Sia data una popolazione numerica infinita di media µ e deviazione standard σ da cui vengono estratti dei campioni casuali formati ciascuno da n individui, con n abbastanza grande (n > 30).  estratto da una popolazione che segue una qualunque distribuzione di probabilità, tende a distribuirsi come una variabile aleatoria normale, di media pari alla media della popolazione e varianza pari alla deviazione standard della popolazione diviso la radice di  n .   In altre parole, anche in una popolazione che non segue il modello gaussiano, le medie campionarie, se calcolate su campioni abbastanza grandi, tendono a distribuirsi secondo una legge gaussiana. segue: Un risultato analogo può essere ottenuto per i processi stocastici. In questo caso si parla di  Teorema del Limite Centrale Funzionale , o  Teorema di Donsker . Grazie al principio di invariata, Donsker ha potuto estendere la convergenza del Teorema del Limite ...