Il processo di Poisson e la sua relazione con varie distribuzioni statistiche

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Il processo di Poisson viene utilizzato per modellizzare situazioni in cui ci sono dei salti aleatori in corrispondenza di alcuni tempi. Si tratta di un processo continuous time ma lo spazio degli stati è discreto.

Il processo di Poisson segue le seguenti proprietà:

  1. N(0)=0, ovvero nella sua origine il processo vale 0
  2. P(N(t+\Delta t)=1)=\lambda \Delta t +o(\Delta t), ovvero in ogni intervallo di tempo si può verificare un salto con una probabilità pari a \lambda \Delta t. Ovviamente, più è largo l’intervallo e maggiore è la probabilità che avvenga un salto. In questo contesto, \lambda è un parametro arbitrario positivo che esprime il tasso di arrivo. Tutto questo ragionamento può essere ricondotto ad un’estrazione di una bernoulliana che assumerà il valore 1 con probabilità pari a \lambda \Delta t, mentre assumerà il valore 0 con probabilità pari a 1-\lambda \Delta t.
  3. P(N(t+\Delta t)>1)=o(\Delta t), ovvero la probabilità di avere un numero di salti maggiore di 1 in ogni intervallo tende a 0 quando l’ampiezza dell’intervallo tende a 0, per cui può essere trascurato.
  4. I salti devono essere indipendenti e stazionari (in ogni intervallo deve esserci un solo salti con probabilità \lambda \Delta t).

La distribuzione di Poisson ha molte proprietà che vengono riportate di seguito.La variabile aleatoria di Poisson, gode di grande successo poiché è fortemente collegata a molte altre variabili aleatorie. E’ risaputo che la somma di variabili stocastiche bernoulliane danno vita a una variabile aleatoria binomiale, ma forse non è noto a tutti che per n che tende ad infinito, e posto λ=np costante, la distribuzione binomiale può essere approssimata a una distribuzione di Poisson. La distribuzione di Poisson, inoltre, grazie al Teorema Del Limite Centrale, può essere approssimata alla distribuzione Normale. Un ultimo risultato noto, che lega quest’affascinante distribuzione ad un’altra distribuzione, è che i tempi di inter-arrivo, cioè la distanza tra due salti, si distribuiscono secondo una esponenziale negativa.

In pratica:

La distribuzione di Poisson si può ottenere come abbiamo accennato,con il limite di una distribuzione binomiale.
Per cui, fissando \lambda =np, si ricorda che la funzione di densità di una variabile aleatoria binomiale è:

P(X=k) =\binom{n}{k} p^k q^{n-k}

da cui, sostituendo p=\frac{\lambda}{n}, si ha che:

P(X=k) =\frac{n!}{k!(n-k)!}\bigl(\frac{\lambda}{n}\bigr)^k \bigl(1-\frac{\lambda}{n}\bigr)^{n-k}

che si può riscrivere, sfruttando il fattoriale tronco:

P(X=k) =\frac{n\cdot ... \cdot (n-k+1)}{n^k} \frac{\lambda^k}{k!} \bigl(1-\frac{\lambda}{n}\bigr)^{n-k}

Per cui per n \rightarrow \infty, si ha:

P(X=k) =\frac{\lambda^k}{k!} \frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^k}

Da cui, considerando sempre n \rightarrow \infty, si ha che (1-\frac{\lambda}{n})^k \rightarrow 1. Per cui:

P(X=k) =\frac{\lambda^k}{k!} \bigl(1-\frac{\lambda}{n}\bigr)^n

È noto che \bigl(1-\frac{\lambda}{n}\bigr)^n =e^{-k}. Si ottiene quindi:

P(X=k) =\frac{\lambda^k}{k!} e^{-k}

Che corrisponde proprio alla probabilità di avere k successi quando n \rightarrow \infty e \lambda è costante.

Un’altra distribuzione riconducibile a quella di Poisson , come detto in precedenza è l’esponenziale negativa.

Un processo di Poisson N(t) si distribuisce secondo una distribuzione di Poisson di parametro \lambda t e per t=0, si ha che:

P(N(0)=0)=\frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t}

Se si considerano i tempi di interarrivo (ovvero la distanza tra due salti) si può dimostrare che questi hanno distribuzione esponenziale negativa. In particolare, si indica con A_1 il primo tempo di interarrivo e si calcola la probabilità:

P(A_1 \leq t) = 1- P(A_1 \geq t)

P(A_1 \geq t) corrisponde alla probabilità di non aver nessun evento prima di t che equivale alla P(N(t)=0). Per cui si ha che:

P(A_1 \leq t) = 1- P(A_1 \geq t)=1-e^{-\lambda t}

Che corrisponde alla funzione di ripartizione di una variabile aleatoria esponenziale negativa. Per la proprietà di assenza di memoria dell’esponenziale negativa e data l’indipendenza e la stazionarietà dei salti, la distribuzione per tutti i tempi di interarrivo è la stessa.

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