Processi stocastici con mean reversion: Ornstein–Uhlenbeck process, Dixit & Pindyck Model, Vasicek model, etc

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Il processo aleatorio GBM, cioè Geometric Brownian Motion,è migliore al processo stocastico ABM, cioè Arithmetic Brownian Motion, per quanto riguarda i modelli per l’andamento di prezzi. Ma anche il GBM  può essere considerato inadeguato, in quanto questa tipologia di processo aleatorio, c'è una semplificazione troppo forte ovvero ,la media e la varianza restano costanti per tutto l’intervallo di tempo considerato. Per molti strumenti finanziari, soprattutto per quelli relativi alle commodities (materie prime), nasce l’esigenza di considerare il fatto che esse presentano un fenomeno di fluttuazione intorno ai prezzi di equilibrio, i due processi GBM e ABM non sono in grado di descrivere questa particolare situazione. Per questo motivo nasce la necessità di considerare un nuovo fattore, cioè il concetto di Mean Reversion.

il modello più semplice è il cosiddetto modello di Ornstein-Uhlenbeck che può essere considerato come una variante del moto browniano generalizzato. In questo nuovo modello si considera la seguente formula:

dP_t=\theta (\overline{P}-P_t)dt+\sigma dW_t

\theta rappresenta la reversion speed ,  \overline{P} indica il prezzo di equilibrio . Come per il modello browniano generalizzato, la parte aleatoria \sigma dW_t rimane la stessa, mentre cambia la parte sistematica: infatti, al posto di \mu c’è il termine \theta (\overline{P}-P_t). Esso indica che esiste una costante theta che riporta il prezzo ad un livello di equilibrio tanto più forte quanto mi allontano da  \overline{P}; dunque, tanto maggiore è la differenza tra \overline{P} e P_t, tanto più il processo tende a tornare verso il livello di equilibrio.

In finanza, il modello Vasicek fu il primo, nel 1977, ad utilizzare questo processo in un modello. Tale modello viene considerato un modello aleatorio d’investimento, ma originariamente fu utilizzato per modellizzare i tassi d’interesse. Il modello di Vasicek è stato il primo a catturare l’inversione media, una caratteristica essenziale del tasso di interesse che lo distingue dagli altri prezzi finanziari. Pertanto, a differenza dei prezzi delle azioni, ad esempio, i tassi di interesse non possono aumentare indefinitamente. Questo perché a livelli molto alti ostacolerebbero l’attività economica, provocando una riduzione dei tassi di interesse. Allo stesso modo, i tassi di interesse di solito non scendono al di sotto di 0. Di conseguenza, i tassi di interesse si spostano in un intervallo limitato, mostrando una tendenza a ritornare a un valore a lungo termine.


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