Spiegare in termini semplici la nozione di Brownian motion, specialmente come limite della random walk.

Mentre le random walks (o passeggiate aleatorie) vengono categorizzate nei processi aleatori discreti, le brownian motion, invece, sono classificati nei processi continui a valori reali. Più nello specifico, una brownian motion {B(t): t≥0} (con n punto di partenza) si definisce tale se vengono soddisfatte le seguenti proprietà:

1. B(0) = n.
2. Il processo ha incrementi indipendenti, ovvero per ogni t1 ≤ t2 ≤ … ≤ tn gli incrementi B(tn) – B(tn-1), B(tn) – B(tn-2), … , B(t2) – B(t1) sono variabili aleatorie indipendenti.
3. Per ogni valore t ≥ 0 e h > 0, gli incrementi B(t+h) – B(t) sono distribuiti secondo una normale di media zero e varianza h.

Questa particolare categoria di processi è molto importante nello studio dei mercati finanziari. IL tipo di approccio basato sulla statistica è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza, partendo dall’ipotesi i che dalle variazioni browniane dei prezzi dei titoli finanziari derivi una formula per stimare l’andamento nel tempo dei prezzi dei prodotti finanziari derivati. Il termine oggi più usato per indicare questa rappresentazione matematica fa riferimento al concetto di passeggiata aleatoria, o random walk.