Definizione differenziale del processo Geometric Brownian Motion e significato intuitivo/motivazione

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Per capire cosa si intende per moto browniano geometrico mettiamolo a confronto con quello  aritmetico.
L’Arithmetic Brownian Motion (ABM) procede per incrementi additivi e pur partendo da un prezzo iniziale relativamente alto, con un tempo sufficientemente ampio (poichè la varianza è proporzionale al tempo che trascorre), si potrebbero ottenere anche valori negativi. Pertanto, il modello ABM non è adeguato ad uno scenario finanziario poichè potrebbe generare prezzi negativi che non sono realistici. Un ulteriore problema si ha quando si rapportano prezzi di beni o di stock non si ragiona in termini additivi, ma si ragiona in termini di tasso di incremento ,di quanto varia in termini percentuali il prezzo di un certo bene.
L’incremento assoluto di un bene dipende anche dal prezzo iniziale ed è per questo motivo che, dal punto di vista finanziario, l’aspetto importante è l’incremento relativo, ovvero:

Questa espressione è detta tasso di incremento o return. Quindi, si può passare da una forma additiva ad una forma moltiplicativa del tipo:

P_{t+\Delta t}-P_t=P_t \cdot return

Da cui si ottiene l’equazione differenziale:

dP_t =P_t(\mu dt+\sigma \sqrt{dt} Z_t)

Questa differente definizione del Brownian Motion prende il nome di Geometric Brownian Motion (GBM) è un processo stocastico a tempo continuo in cui il logaritmo della quantità variabile casualmente segue un movimento browniano.

Se nell’ABM l’incremento dei prezzi è definito come una N(0, Δt) e le distribuzioni dei prezzi, allo stesso modo, sono normali, in GBM la situazione è differente. Infatti, il differenziale del prezzo non è più una somma di normali , ma corrisponde ad un prodotto.  Per esaminare la distribuzione del prezzo, occorre eliminare il prodotto P_t \cdot dW_t e per farlo si considera il logaritmo  da cui segue, grazie alle proprietà dei logaritmi, che:

ln(dP_t)= ln(P_t \cdot dW_t) = ln(P_t)+ln(dW_t)

In questo modo, si ottiene una somma di normali e, di conseguenza, una normale: ln(P) è una normale e, in questo caso, si dice che P si distribuisce secondo una Log-Normale. Quindi, per definizione, la distribuzione dei prezzi in GBM è una log-normale. Considerando questo modello, dato che la log-normale è definita in (0, ∞), i prezzi non potranno più essere negativi e quindi riesce ad essere applicabile per uno scenario finanziario.

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