Spiegare in termini semplici e intuitivi il significato del teorema funzionale del limite centrale per processi aleatori e la sua analogia con il teorema del limite centrale (CLT)

Il Teorema del Limite Centrale Sia data una popolazione numerica infinita di media µ e deviazione standard σ da cui vengono estratti dei campioni casuali formati ciascuno da n individui, con n abbastanza grande (n > 30). estratto da una popolazione che segue una qualunque distribuzione di probabilità, tende a distribuirsi come una variabile aleatoria normale, di media pari alla media della popolazione e varianza pari alla deviazione standard della popolazione diviso la radice di n.  In altre parole, anche in una popolazione che non segue il modello gaussiano, le medie campionarie, se calcolate su campioni abbastanza grandi, tendono a distribuirsi secondo una legge gaussiana.

segue:

Un risultato analogo può essere ottenuto per i processi stocastici. In questo caso si parla di Teorema del Limite Centrale Funzionale, o Teorema di Donsker. Grazie al principio di invariata, Donsker ha potuto estendere la convergenza del Teorema del Limite Centrale, a tutta la funzione di variabili aleatorie, cioè il processo aleatorio. Il principio di invariata di Donsker afferma che la funzione casuale W(n), cioè il processo aleatorio, converge in distribuzione ad un Moto Browniano standardizzato, che può essere definito, nell’ambito dei processi stocastici, come la normale standardizzata nell’ambito della variabili casuali.