Definizione differenziale del processo di Wiener

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Per il teorema del limite centrale funzionale, gli incrementi del moto browniano sono indipendenti e stazionari e hanno distribuzione normale, ma è possibile definire analogamente il cosiddetto Processo di Wiener generalizzato, in cui la media è diversa da zero e la varianza è moltiplicata per un fattore di scala.

Nel caso stazionario si ha che:

                                       


dove l’incremento I_t si distribuisce secondo una normale N(0, \Delta t). Tale relazione può essere anche scritta nel seguente modo: 
dove Zt è una normale standardizzata N(0, \Delta t).
Nel caso generale del processo invece gli incrementi si distribuiscono secondo una normale N(μΔt ,σ2Δt), . Come fatto per il processo stazionario, è possibile riscrivere il processo nel seguente modo: 
Una particolarità del moto Browniano è che, essendo una variabile assolutamente continua, può essere rappresentato anche sotto forma di equazioni differenziali, con incrementi infinitamente piccoli. Tali equazioni prendono il nome di Stochastic Differential Equation (SDE).

Nel caso di incremento stazionario si ha che dP_t=\sqrt{dt}Z_t=dW_t dove dW_t è detto incremento di Wiener.

Nel caso generalizzato invece si ha che dP_t=\mu dt+\sigma \sqrt{dt}Z_t. La prima componente viene chiamata drift, mentre la seconda può essere riscritta come incremento di Wiener moltiplicato per un fattore pari a \sigma.

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