Introdurre la nozione di processo aleatorio e in particolare la Random walk

Un processo aleatorio è un insieme ordinato di funzioni reali di un certo parametro ,in genere il tempo, che gode di determinate proprietà statistiche. E' possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di variabili casuali reali ${\displaystyle X(t)}$ rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo ${\displaystyle t}$. In pratica  un processo stocastico si basa su una variabile casuale che prende valori in spazi più generali dei numeri reali. I processi aleatori sono un'estensione del concetto di variabile aleatoria, nel momento in cui viene preso in considerazione anche il parametro tempo.

Per quanto riguarda le applicazioni alla finanza questi processi sono importanti perchè ci consentono di modellizzare l'andamento di fenomeni d' interesse ad esempio come i prezzi, spread.

In generale, i processi stocastici si suddividono in processi continui o processi discreti a seconda della natura di t.

Da un punto di vista astratto, qualunque sia lo strumento finanziario considerato (azioni, futures, etf, stock options o futures options), si può considerare come una traiettoria nel tempo, ovvero come un processo stocastico parametrizzato rispetto al tempo e che, in un certo istante t, assumerà un certo valore P(t) che è una variabile aleatoria può essere, ad esempio, il prezzo di quello stesso strumento al tempo t .

La random walk è il processo stocastico più semplice e descrive un percorso che consiste in una successione di passi casuali su uno spazio matematico come gli interi. In questo processo, si studia il moto di una particella puntiforme vincolata a muoversi lungo una retta nelle due direzioni consentite. Ad ogni movimento essa si sposta (a caso) di un passo a destra (con una probabilità fissata p) o a sinistra con una probabilità 1-p, ed ogni passo è di lunghezza uguale e indipendente dagli altri. 
Proiettando questo ragionamento in ambito finanziario, si utilizza un processo di Bernoulli in cui si parte da un prezzo iniziale P0 al tempo t0, per poi simulare nuovi tempi con i nuovi prezzi e la generazione dei nuovi tempi avviene quindi con la seguente regola di aggiornamento: